Windowsならばウインドウ内で右クリックをして、コンテキスト・メニューを出します。
ここで、ソースを開いても良いのですが、「検証」を選ぶことにします。
右クリック自体をできないサイトもありますが、その場合でもChrome(など)では、ブラウザ自体のメニューで、その他のツール>デベロッパーツール と進めば出てきます。
慣れれば、[shift]+[ctrl]+[i]のショートカットが一番早いかも知れません。
左側の反転の様子を見ながら、歌詞を記述している箇所を絞っていきます。
コンテキスト・メニューで「Edit as HTML」を選びます。

これで、歌詞(の任意の箇所)がコピーできるようになります。
この状態では、ほぼ全てのサイトで、改行位置に改行コードは入っていなくて、<br>で改行しています。
これをテキストエディターに貼り付けます。
これを
1 .txtではなく、.htmlの拡張子を付け、
2 特に中国語などの外国語の歌詞を含む場合は、保存の際にshift-jisなどではなく、UTF8などの文字コードで保存することに注意をします。
保存したファイルをブラウザで開くと、<BR>のタグは消え、代わりにそこで改行されているので、もとの歌詞サイトのイメージで表示されることになります。

まれに、歌詞表示にテキストデータを使わず画像を使っている歌詞サイトや、Flashを使っているサイトがありますが、その場合は、潔く諦めて、別の歌詞サイトへ移動します。