それは、「Wi-Fiが利用可能な場所であること」です。おかしな話です。Wi-Fiが利用可能な場所ならば、テザリングをしなくてもいいのですが、実際そうなのです。
初めてN-04Cとイオンsimの組み合わせでFoxFiによるテザリングができたのは自宅でしたから、Wi-Fiが利用可能でした。テザリング開始時の手順では「Wi-FiをONにする」というのがあります。Wi-Fiを通じてFoxFiは、機能を開始するのです。逆に言うと、Wi-Fi経由でインターネットに接続されていないと、FoxFiは開始してくれません。でも、FoxFiは一旦開始すると、Wi-Fiを受信出来ない場所でも3Gを受信してテザリングの機能を続けてくれます。
一番Wi-Fiを自由に使える自宅以外でテザリングをするにはどうしたらいいか。セブン・イレブンのWi-Fiスポット(セブンスポット)を試しました。店の前で、通常の手続きを踏んでテザリングを開始します。
そこから離れると当然Wi-Fiの利用は出来なくなりますが、テザリングは引き続き利用できます。

大切なことは、Wi-FiをOFFにしないこと。OFFにすると、FoxFiも終了してしまいます。FoxFiはWi-Fiを、いわば呼び水にしているのだと思われます。
セブンスポットの他、FONでも試してみましたが、うまくいきませんでした。こちらはFoxFiの呼び水とはならないようです。
そうそう。FoxFiのテザリングを終了するときには、スマホの設定からWi-FiをOFFにせず、FoxFiのテザリング機能をOFFにすると、「お後がよろしい」ようです。