【追記】
新生銀行のカードは三菱東京UFJ銀行を経由して使えるという説明をE-netから聞かされました。それでは…と再度試してみると、やはり暗証番号自体を拒否されるので、それ以上は進みませんでした。
よく分からないのは、「新生銀行」の名前はATMのところには表示がなかったこと(ような記憶)です。
そして、株式会社イーネットのサイトを開いて、「使えるカード」のページを見ると
「新生銀行」の名称は見当たりません。
しつこく眺めると

という表示があります。「SBJ銀行」となっていますが、小さく「SHINSEI BANK JAPAN」と書かれています。
やる気あるのかなあ、と思ってしまいます。
今回の三菱東京UFJ銀行のコンビニATM使用有料化のように、利用されると銀行の支出が増えてしまい、
「実は使ってもらいたくない」
という理由なのでしょうか。